题目描述

原题地址:luogu

一句话题意:求$\sum_{i = l}^ri-\varphi(i)$。其中,$l,r\leq 10^{12}$

假的假的,世界都是假的

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定理内容

关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=m$有解,当且仅当$m$是$d$的整数倍,其中,$d=\gcd(a,b)$

读完上面这句话,你一定会觉得这是什么辣鸡定理,感觉好没用的样子。

其实裴蜀定理还用后半部分。

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定理

设正整数 $m_1,m_2,⋯,m_n$ 两两互质,则同余方程组

$$ \begin{cases} x\equiv a_1(\mod m_1)&(1)\
x\equiv a_2(\mod m_2)&(2)\
\cdots\
x\equiv an(\mod m_n)&(n)\
\end{cases} $$ 有整数解,且在模$M=\prod
{i=1}^n m_i$下解唯一。为:

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线性筛

普通筛法

这个大家都会,它效率低下的原因是一个数被重复筛去了。

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GCD

求GCD一般使用欧几里得的算法,即$\gcd(a,b)=\gcd(b, a\mod b)$

然后就随便写写就好了,这个大家都会qwq

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题目描述

原题地址:COGS

题目是在济南集训时候的比赛题

题意:求$\sum^n_ {i = 1}\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)\mod998244353$

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题目描述

原题地址:Codeforces

思路

固定两个相邻的点,其中一个是顶点,然后枚举另一个点的位置,求角。

观察到所成角每次增加$\frac{\pi}{n}$,然后就递推一波。。

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题目描述

问题:题目地址中文版

思路

注意到$a,b\leq 60$,所以预处理出所有$x^a,y^b$存起来,然后两两求和,去重, 然后处理一下得到答案。

坑点

  1. 开unsigned long long

  2. while (num <= 1e18)
       num = num * x
    

    这样写是不符合基本法的,会溢出掉的

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